Quadratische Gleichungen

Bei quadratischen Gleichungen taucht die Variable in zweiter Potenz auf. Folgende Gleichung ist z.B. eine quadratische Gleichung:

2x^2 - 4x = 6

Eine derartige Gleichung kann man entweder mittels einer quadratischen Ergänzung lösen oder die auf diese Weise hergeleitete pq-Formel benutzen.

Quadratische Ergänzung

Der Term mit x^2 und der mit x^1 müssen beide auf einer Seite der Gleichung stehen. Dies ist hier der Fall. Zunächst muß dafür gesorgt werden, daß vor dem x^2 kein Faktor mehr steht:

2x^2 - 4x = 6 | ÷ 2

<=> x^2 - 2x = 3

Nun wird die linke Seite der Gleichung so umgeformt, daß eine Klammer entsteht, die quadriert wird.
Folgende Klammer ergibt quadriert:

(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1

Die ersten beiden Terme entsprechen den ersten beiden Termen in der obigen Gleichung.

Wenn man die linke Seite der blauen Gleichung durch die Klammer ersetzt, so muß der dritte Term (die 1) wieder abgezogen werden:

x^2 - 2x = 3
<=> (x - 1)^2 - 1 = 3

(Den zweiten Ausdruck in der Klammer erhält man, indem der in der Gleichung vor dem x stehende Faktor durch zwei geteilt wird (-1 = -2÷2). Die Gleichung kann nun nach x aufgelöst werden:

(x - 1)^2 - 1 = 3 | +1

<=> (x - 1)^2 = 4 |Wurzel

<=> x - 1 = 2 oder x - 1 = -2

<=> x = 3 oder x = -1

Nun wird die Wurzel gezogen. Hierbei ist zu beachten, daß es immer die positive und die negative Wurzel gibt: * x - 1 = 2 oder x - 1 = -2 * x = 3 oder x = -1

Außer der hier angeführten Schreibweise ist es auch gebräuchlich, die verschiedenen Lösungen durchzunummerieren. Man würde dann schreiben:

x1 = 3 und x2 = -1

pq-Formel

Mittels der quadratischen Ergänzung kann eine allgemeine Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen hergeleitet werden. Man formt die Gleichung zunächst so um, daß auf der einen Seite der Gleichung eine Null steht, anschließend sorgt man durch das Multiplizieren (oder auch Teilen) der Gleichung mit einem geeigneten Faktor dafür, daß vor dem x* nur noch eine 1 steht. Den Faktor, der nun noch vor dem x steht, nennt man p und den Term, der ohne x steht, q, die Gleichung lautet dann:

x^2 + px + q = 0

Diese Gleichung kann nun mittels quadratischer Ergänzung gelöst werden.

x^2 + px + q = 0

<=> (x + p/2)^2 - 1/4*p^2 + q = 0| + 1/4*p^2 -q

<=> (x + p/2)^2 = 1/4*p^2 - q | Wurzel

<=> x + p/2 = ± Wurzel ((p/2)^2 - q)| - p/2

Als Lösung für x ergibt sich somit:

<=> x = - p/2 ± Wurzel ((p/2)^2 - q)

Da in der Gleichung p und q auftreten, nennt man die Formel häufig auch pq-Formel. Nachfolgend wird das zuvor schon angeführte Beispiel mit der pq-Formel berechnet:

2x^2 - 4x = 6 | - 6

Zunächst wird die 6 auf die andere Seite gebracht. Nachfolgend wird die Gleichung durch 2 geteilt:

2x^2 - 4x - 6 = 0| ÷ 2

<=> x^2 - 2x - 3 = 0

An dieser Gleichung kann man nun den Wert für p und q ablesen, p ist der Wert, mit dem x multipliziert wird, und q ist der Wert, der alleine steht. Wichtig ist, daß auch das Vorzeichen zu p und q gehört. In diesem Fall hat also p den Wert von -2 und q den Wert von -3. Wenn man dies einsetzt, ergibt sich:

x = - 1/2*(-2) ± Wurzel ((-2/2)^2 - (-3))

<=> x = 1 ± Wurzel (1 + 3)

<=> x = 3 oder x = -1

Weitere Zusammenhänge

1) Bisweilen wird auch eine sogenannte abc-Formel zur Berechnung von quadratischen Gleichungen angeführt. Hierbei wird die Gleichung nicht so umgeformt, daß vor dem x^2 nichts mehr steht, sondern der Ausdruck vor dem x wird mit a bezeichnet. Entsprechend lautet die allgemeine Form der quadratischen Gleichung:

ax^2 + bx + c = 0

Wenn man diese Gleichung mit der quadratischen Gleichung oder auch der pq-Formel löst, so ergibt sich:

x = - b/2a ± Wurzel ((b/2a)^2 - c/a)

2) Ganz allgemein gibt es für die Anzahl von Lösungen von quadrati- schen Gleichungen 3 verschiedene Möglichkeiten: - wenn der Ausdruck in der auftretenden Wurzel negativ ist, gibt es keine Lösung - wenn der Ausdruck in der Wurzel 0 ist, existiert genau eine Lösung - wenn der Ausdruck in der Wurzel größer als Null ist, existieren genau zwei Lösungen